Tooprogram.ru

Компьютерный справочник
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Функция десятичного логарифма в excel

Функция LOG в Microsoft Excel

Одним из востребованных математических действий при решении учебных и практических задач является нахождение логарифма из заданного числа по основанию. В Экселе для выполнения данной задачи существует специальная функция, которая называется LOG. Давайте поподробнее узнаем, как её можно применять на практике.

Использование оператора LOG

Оператор LOG относится к категории математических функций. Его задачей является вычисление логарифма указанного числа по заданному основанию. Синтаксис у указанного оператора предельно простой:

Как видим, функция располагает всего двумя аргументами.

Аргумент «Число» представляет собой число, из которого нужно вычислить логарифм. Он может принимать вид числового значения и являться ссылкой на ячейку, его содержащую.

Аргумент «Основание» представляет собой основание, по которому будет вычисляться логарифм. Он тоже может иметь, как числовой вид, так и выступать в виде ссылки на ячейку. Данный аргумент не является обязательным. Если он опущен, то считается, что основание равно нулю.

Кроме того, в Экселе существует ещё одна функция, позволяющая вычислять логарифмы – LOG10. Её главное отличие от предыдущей в том, что она может вычислять логарифмы исключительно по основанию 10, то есть, только десятичные логарифмы. Её синтаксис ещё проще, чем у ранее представленного оператора:

Как видим, единственным аргументом данной функции является «Число», то есть, числовое значение или ссылка на ячейку, в которой оно расположено. В отличие от оператора LOG у этой функции аргумент «Основание» вообще отсутствует, так как принимается, что основание обрабатываемых ею значений равно 10.

Способ 1: применение функции LOG

Теперь давайте рассмотрим применение оператора LOG на конкретном примере. Имеем столбец числовых значений. Нам нужно вычислить из них логарифм по основанию 5.

  1. Выполняем выделение первой пустой ячейки на листе в колонке, в которую планируем выводить итоговый результат. Далее щелкаем по пиктограмме «Вставить функцию», которая располагается возле строки формул.

Происходит запуск окошка Мастера функций. Перемещаемся в категорию «Математические». Производим выделение наименования «LOG» в списке операторов, после чего производим щелчок по кнопке «OK».

Происходит запуск окошка аргументов функции LOG. Как видим, оно имеет два поля, которые соответствуют аргументам данного оператора.

В поле «Число» в нашем случае следует ввести адрес первой ячейки того столбца, в котором находятся исходные данные. Это можно сделать, вписав его в поле вручную. Но существует и более удобный способ. Устанавливаем курсор в указанном поле, а затем щелкаем левой кнопкой мыши по ячейке таблицы, содержащей нужное нам числовое значение. Координаты данной ячейки тут же отобразятся в поле «Число».

В поле «Основание» просто вписываем значение «5», так как оно будет одинаково для всего обрабатываемого числового ряда.

После произведения указанных манипуляций щелкаем по кнопке «OK».

Результат обработки функцией LOG тут же выводится в ячейку, указанную нами на первом шаге этой инструкции.

Но мы заполнили только первую ячейку столбца. Для того, чтобы заполнить и остальные, нужно скопировать формулу. Устанавливаем курсор в нижний правый угол ячейки её содержащей. Появляется маркер заполнения, представ в виде крестика. Выполняем зажим левой кнопки мыши и перетягиваем крестик до конца столбца.

  • Вышеуказанная процедура привела к тому, что все ячейки столбца «Логарифм» заполнены результатом вычисления. Дело в том, что ссылка, указанная в поле «Число», является относительной. При перемещении по ячейкам изменяется и она.
  • Способ 2: применение функции LOG10

    Теперь давайте рассмотрим пример использования оператора LOG10. Для примера возьмем таблицу с теми же исходными данными. Но теперь, понятное дело, предстоит задача вычислить логарифм чисел, расположенных в столбце «Исходные данные» по основанию 10 (десятичный логарифм).

      Производим выделение первой пустой ячейки столбца «Логарифм» и щелкаем по пиктограмме «Вставить функцию».

    В открывшемся окне Мастера функций опять выполняем переход в категорию «Математические», но на этот раз останавливаемся на наименовании «LOG10». Щелкаем внизу окошка по кнопке «OK».

    Происходит активация окна аргументов функции LOG10. Как видим, оно располагает только одним полем – «Число». Вносим в него адрес первой ячейки столбца «Исходные данные», тем же способом, который мы использовали в предыдущем примере. Затем щелкаем по кнопке «OK» внизу окна.

    Результат обработки данных, а именно десятичный логарифм заданного числа, выводится в предварительно указанную ячейку.

  • Для того, чтобы произвести вычисления и для всех остальных чисел представленных в таблице, производим копирование формулы посредством маркера заполнения, таким же способом, что и в предыдущий раз. Как видим, результаты расчетов логарифмов чисел выведены в ячейки, а значит, поставленная задача выполнена.
  • Применение функции LOG позволяет в Экселе просто и быстро посчитать логарифм от указанного числа по заданному основанию. Этот же оператор может посчитать и десятичный логарифм, но для указанных целей более рационально использовать функцию LOG10.

    Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

    Как рассчитать логарифм в Excel с помощью функции LOG

    Вычисление логарифмов – это одна из самых востребованных математических задач, в том числе, в программе Эксель, в которой специально для этого разработана функция под названием LOG. В этой статье мы рассмотрим, каким образом работает данная функция.

    Вычисление логарифма в Эксель

    Функция в Excel, позволяющая считать логарифмы из определенного числа по указанному основанию, называется LOG.

    Формула функции LOG выглядит следующим образом:

    =LOG(число;[основание])

    Как мы видим, формула имеет два аргумента:

    • “Число” – конкретное число (или адрес ячейки, которая содержит число), из которого требуется вычислить логарифм.
    • “Основание” – также выражается числом (либо содержит координаты ячейки с требуемым числом), которое является основанием, по которому вычисляется логарифм. Наличие этого аргумента не является обязательным, и его можно и не указывать. В этом случае автоматически будет присвоено нулевое значение.
    Читать еще:  Расчет количества символов в ячейке excel

    Помимо вышеописанной функции, в Эксель есть еще один оператор – LOG10, который вычисляет логарифмы с основанием, равным цифре 10. Другими словами, он умеет работать исключительно с десятичными логарифмами.

    Формула функции LOG10 выглядит следующим образом:

    =LOG10(число).

    В данном случае оператор имеет только один аргумент – “Число”, который, как и в случае с функцией LOG, прописывается в виде числового выражения (либо ссылкой на ячейку с требуемым числом). Это и есть то значение, логарифм которого нужно рассчитать. Второго аргумента под названием “Основание” в этой формуле нет, так как ему присваивается безусловное значение, равное 10.

    Использование оператора LOG

    Для лучшего понимания работы функции LOG давайте разберем ее, применив на практике. Для этого возьмем таблицу имеющую колонку с числами. Наша задача – в отдельном столбце вычислить логарифмы из этих числовых значений по основанию, равному 3.

    Давайте начнем выполнение нашей задачи:

    1. Выбираем первую ячейку столбца, в которой хотим произвести вычисления. Затем кликаем по кнопке “Вставить функцию” (с левой стороны от строки формул).
    2. В результате откроется окно Мастера функций. Здесь мы щелкаем по текущей категории и в открывшемся перечне выбираем строку “Математические”.
    3. Из предложенного списка операторов кликаем по функции “LOG” и подтверждаем действие нажатием OK.
    4. В открывшемся окне задаем настройки функции, после чего нажимаем OK. Согласно количеству аргументов оператора, в открывшемся окне имеется два поля:
      • в поле “Число” указываем координаты ячейки с числом, из которого требуется рассчитать логарифм. Можно прописать информацию вручную, но есть более простой и удобный метод. Кликаем сначала по области поля “Число”, после чего – по требуемой ячейке.
      • в поле “Основание” в нашем случае указываем значение “3”.Примечание: В поле “Число” можно сразу напечатать конкретное числовое значение.
    5. После проделанных действий результат вычислений незамедлительно отобразится в выбранной ячейке с формулой LOG.
    6. Теперь остается скопировать формула расчета для оставшихся исходных числовых значений, представленных в первом столбце. Прописывать или вставлять формулу для каждой ячейки слишком долго, и к счастью, это вовсе не обязательно, ведь есть куда более быстрый способ это сделать, причем, исключив возможные ошибки и опечатки. Для этого наводим указатель мыши на нижний правый угол ячейки с формулой, и после того, как курсор изменит форму на крестик, зажав левую кнопку мыши растягиваем формулу на оставшиеся строки ниже.
    7. В результате проделанных действий мы получим результат вычислений по всем строкам.

    Применение оператора LOG10

    А сейчас предлагаем познакомимся с оператором LOG10. Теперь наша задача – это получении десятичных логарифмов исходных чисел.

    1. Проделываем те же действия, что и при первом способе, т.е. выбираем верхнюю ячейку столбца, куда будем выводить результаты и жмем кнопку “Вставить функцию”.
    2. В перечне математических операторов кликаем по строке “LOG10”, после чего подтверждаем выбор нажатием OK.
    3. Затем выполняем настройку функции. В данном случае она имеет всего лишь один аргумент – “Число”. Указываем адрес нужной ячейки с числом, логарифм из которого нужно рассчитать, и жмем кликаем по кнопке OK, чтобы получить результат.
    4. В итоге, в выбранной ячейке с формулой будет выведен результат вычислений десятичного логарифма от заданного числового значения. Методом, который был описан в первом способе, растягиваем формулу на все оставшиеся строки результирующего столбца.

    Заключение

    Итак, в Microsoft Excel вычисление логарифма от заданного числового значения по указанному основанию реализовано через функцию “LOG”, которая также позволяет рассчитать логарифм по основанию, равному 10. Однако, для десятичных логарифмов целесообразнее и проще использовать специально разработанный для этого отдельный оператор под названием “LOG10”.

    Математические функции Excel

    Здесь рассмотрены наиболее часто используемые математические функции Excel (краткая справка). Дополнительную информацию о функциях можно найти в окне диалога мастера функций, а также в справочной системе Excel. Кроме того, множество математических функций включено в надстройку «Пакет анализа».

    Функция СУММ (SUM)

    Функция СУММ (SUM) суммирует множество чисел. Эта функция имеет следующий синтаксис:

    =СУММ(числа)

    Аргумент числа может включать до 30 элементов, каждый из которых может быть числом, формулой, диапазоном или ссылкой на ячейку, содержащую или возвращающую числовое значение. Функция СУММ игнорирует аргументы, которые ссылаются на пустые ячейки, текстовые или логические значения. Аргументы не обязательно должны образовывать непрерывные диапазоны ячеек. Например, чтобы получить сумму чисел в ячейках А2, В10 и в ячейках от С5 до К12, введите каждую ссылку как отдельный аргумент:

    =СУММ(А2;В10;С5:К12)

    Функции ОКРУГЛ, ОКРУГЛВНИЗ, ОКРУГЛВВЕРХ

    Функция ОКРУГЛ (ROUND) округляет число, задаваемое ее аргументом, до указанного количества десятичных разрядов и имеет следующий синтаксис:

    =ОКРУГЛ(число;количество_цифр)

    Аргумент число может быть числом, ссылкой на ячейку, в которой содержится число, или формулой, возвращающей числовое значение. Аргумент количство_цифр, который может быть любым положительным или отрицательным целым числом, определяет, сколько цифр будет округляться. Задание отрицательного аргумента количество_цифр округляет до указанного количества разрядов слева от десятичной запятой, а задание аргумента количество_цифр равным 0 округляет до ближайшего целого числа. Excel цифры, которые меньше 5, с недостатком (вниз), а цифры, которые больше или равны 5, с избытком (вверх).

    Функции ОКРУГЛВНИЗ (ROUNDDOWN) и ОКРУГЛВВЕРХ (ROUNDUP) имеют такой же синтаксис, как и функция ОКРУГЛ. Они округляют значения вниз (с недостатком) или вверх (с избытком).

    Читать еще:  Как отформатировать таблицу в excel

    Функции ЧЁТН и НЕЧЁТ

    Для выполнения операций округления можно использовать функции ЧЁТН (EVEN) и НЕЧЁТ (ODD). Функция ЧЁТН округляет число вверх до ближайшего четного целого числа. Функция НЕЧЁТ округляет число вверх до ближайшего нечетного целого числа. Отрицательные числа округляются не вверх, а вниз. Функции имеют следующий синтаксис:

    =ЧЁТН(число)
    =НЕЧЁТ(число)

    Функции ОКРВНИЗ, ОКРВВЕРХ

    Функции ОКРВНИЗ (FLOOR) и ОКРВВЕРХ (CEILING) тоже можно использовать для выполнения операций округления. Функция ОКРВНИЗ округляет число вниз до ближайшего кратного для заданного множителя, а функция ОКРВВЕРХ округляет число вверх до ближайшего кратного для заданного множителя. Эти функции имеют следующий синтаксис:

    =ОКРВНИЗ(число;множитель)
    =ОКРВВЕРХ(число;множитель)

    Значения число и множитель должны быть числовыми и иметь один и тот же знак. Если они имеют различные знаки, то будет выдана ошибка.

    Функции ЦЕЛОЕ и ОТБР

    Функция ЦЕЛОЕ (INT) округляет число вниз до ближайшего целого и имеет следующий синтаксис:

    =ЦЕЛОЕ(число)

    Аргумент — число — это число, для которого надо найти следующее наименьшее целое число.

    Эта формула возвратит значение 10, как и следующая:

    Функция ОТБР (TRUNC) отбрасывает все цифры справа от десятичной запятой независимо от знака числа. Необязательный аргумент количество_цифр задает позицию, после которой производится усечение. Функция имеет следующий синтаксис:

    =ОТБР(число;количество_цифр)

    Если второй аргумент опущен, он принимается равным нулю. Следующая формула возвращает значение 25:

    Функции ОКРУГЛ, ЦЕЛОЕ и ОТБР удаляют ненужные десятичные знаки, но работают они различно. Функция ОКРУГЛ округляет вверх или вниз до заданного числа десятичных знаков. Функция ЦЕЛОЕ округляет вниз до ближайшего целого числа, а функция ОТБР отбрасывает десятичные разряды без округления. Основное различие между функциями ЦЕЛОЕ и ОТБР проявляется в обращении с отрицательными значениями. Если вы используете значение -10,900009 в функции ЦЕЛОЕ, результат оказывается равен -11, но при использовании этого же значения в функции ОТБР результат будет равен -10.

    Функции СЛЧИС и СЛУЧМЕЖДУ

    Функция СЛЧИС (RAND) генерирует случайные числа, равномерно распределенные между 0 и 1, и имеет следующий синтаксис:

    =СЛЧИС()

    Функция СЛЧИС является одной из функций EXCEL, которые не имеют аргументов. Как и для всех функций, у которых отсутствуют аргументы, после имени функции необходимо вводить круглые скобки.

    Значение функции СЛЧИС изменяется при каждом пересчете листа. Если установлено автоматическое обновление вычислений, значение функции СЛЧИС изменяется каждый раз при воде данных в этом листе.

    Функция СЛУЧМЕЖДУ (RANDBETWEEN), которая доступна, если установлена надстройка «Пакет анализа», предоставляет больше возможностей, чем СЛЧИС. Для функции СЛУЧМЕЖДУ можно задать интервал генерируемых случайных целочисленных значений.

    =СЛУЧМЕЖДУ(начало;конец)

    Аргумент начало задает наименьшее число, которое может возвратить любое целое число от 111 до 529 (включая и оба эти значения):

    Функция ПРОИЗВЕД

    Функция ПРОИЗВЕД (PRODUCT) перемножает все числа, задаваемые ее аргументами, и имеет следующий синтаксис:

    =ПРОИЗВЕД(число1;число2. )

    Эта функция может иметь до 30 аргументов. Excel игнорирует любые пустые ячейки, текстовые и логические значения.

    Функция ОСТАТ

    Функция ОСТАТ (MOD) возвращает остаток от деления и имеет следующий синтаксис:

    =ОСТАТ(число;делитель)

    Значение функции ОСТАТ — это остаток, получаемый при делении аргумента число на делитель. Например, следующая функция возвратит значение 1, то есть остаток, получаемый при делении 19 на 14:

    Если число меньше чем делитель, то значение функции равно аргументу число. Например, следующая функция возвратит число 25:

    Если число точно делится на делитель, функция возвращает 0. Если делитель равен 0, функция ОСТАТ возвращает ошибочное значение.

    Функция КОРЕНЬ

    Функция КОРЕНЬ (SQRT) возвращает положительный квадратный корень из числа и имеет следующий синтаксис:

    =КОРЕНЬ(число)

    Аргумент число должен быть положительным числом. Например, следующая функция возвращает значение 4:

    Если число отрицательное, КОРЕНЬ возвращает ошибочное значение.

    Функция ЧИСЛОКОМБ

    Функция ЧИСЛОКОМБ (COMBIN) определяет количество возможных комбинаций или групп для заданного числа элементов. Эта функция имеет следующий синтаксис:

    =ЧИСЛОКОМБ(число;число_выбранных)

    Аргумент число — это общее количество элементов, а число_выбранных — это количество элементов в каждой комбинации. Например, для определения количества команд с 5 игроками, которые могут быть образованы из 10 игроков, используется формула:

    Результат будет равен 252. Т.е., может быть образовано 252 команды.

    Функция ЕЧИСЛО

    Функция ЕЧИСЛО (ISNUMBER) определяет, является ли значение числом, и имеет следующий синтаксис:

    =ЕЧИСЛО(значение)

    Пусть вы хотите узнать, является ли значение в ячейке А1 числом. Следующая формула возвращает значение ИСТИНА, если ячейка А1 содержит число или формулу, возвращающую число; в противном случае она возвращает ЛОЖЬ:

    Функция LOG

    Функция LOG возвращает логарифм положительного числа по заданному основанию. Синтаксис:

    =LOG(число;основание)

    Если аргумент основание не указан, то Excel примет его равным 10.

    Функция LN

    Функция LN возвращает натуральный логарифм положительного числа, указанного в качестве аргумента. Эта функция имеет следующий синтаксис:

    =LN(число)

    Функция EXP

    Функция EXP вычисляет значение константы e, возведенной в заданную степень. Эта функция имеет следующий синтаксис:

    EXP(число)

    Функция EXP является обратной по отношению к LN. Например, пусть ячейка А2 содержит формулу:

    Тогда следующая формула возвращает значение 10:

    Функция ПИ

    Функция ПИ (PI) возвращает значение константы пи с точностью до 14 десятичных знаков. Синтаксис:

    =ПИ()

    Функция РАДИАНЫ и ГРАДУСЫ

    Тригонометрические функции используют углы, выраженные в радианах, а не в градусах. Измерение углов в радианах основывается на константе пи и при этом 180 градусов равны пи радиан. Excel предоставляет две функции, РАДИАНЫ (RADIANS) и ГРАДУСЫ (DEGREES), чтобы облегчить работу с тригонометрическими функциями.

    Читать еще:  Количество символов в столбце excel

    Вы можете преобразовать радианы в градусы, используя функцию ГРАДУСЫ. Синтаксис:

    =ГРАДУСЫ(угол)

    Здесь — угол — это число, представляющее собой угол, измеренный в радианах. Для преобразования градусов в радианы используется функция РАДИАНЫ, которая имеет следующий синтаксис:

    =РАДИАНЫ(угол)

    Здесь — угол — это число, представляющее собой угол, измеренный в градусах. Например, следующая формула возвращает значение 180:

    В то же время следующая формула возвращает значение 3,14159:

    Функция SIN

    Функция SIN возвращает синус угла и имеет следующий синтаксис:

    =SIN(число)

    Здесь число — угол в радианах.

    Функция COS

    Функция COS возвращает косинус угла и имеет следующий синтаксис:

    =COS(число)

    Здесь число — угол в радианах.

    Функция TAN

    Функция TAN возвращает тангенс угла и имеет следующий синтаксис:

    =TAN(число)

    Здесь число — угол в радианах.

    В начало страницы

    В начало страницы

    Использование функций в Excel 2007

    Вы уже можете делать вычисления в Excel 2007, и уже использовали математическую функцию TAN , которая вычисляет тангенс. Кроме того, при выполнении сложения чисел Вы использовали функцию СУММ , которая вычисляет сумму ряда чисел.

    В программе Excel встроено огромное количество других самых разнообразных функций. Функции в Excel используются и для вычислений, и для выполнения логических операций , и для операций с датами и текстом. По каждой функции в Excel есть справка , и Вы вполне можете самостоятельно узнать, как использовать ту или иную новую для Вас функцию.

    Рассмотрим на практике использование некоторых функций Excel. Когда Вы выделяете ячейку, и затем нажимаете на fx перед строкой формул, по умолчанию Вам предложат функции Excel из категории 10 недавно использовавшихся функций . Но Вы можете в списке выбрать также следующие виды функций:

    • полный алфавитный перечень
    • финансовые
    • дата и время
    • математические
    • статистические

    и многие другие категории.

    Давайте сначала рассмотрим математические функции Excel, как наиболее употребительные.

    • ABS : возвращает модуль (положительное значение) числа. Поставьте в ячейку число -3, затем выделите другую ячейку, нажмите fx, выберите в категории математические функцию ABS, и вместо указания числа нажмите на ячейку с числом -3 . В ячейке с функцией ABS появится значение 3 .
    • COS, SIN, TAN : возвращает значение косинуса, синуса, тангенса заданного числа, или значения заданной ячейки. Котангенса в функциях Excel нет, наверно, потому, что котангенс в формуле легко заменить единицей, деленной на тангенс.
    • EXP : возвращает экспоненту заданного числа. Не знаете, что такое экспонента? Нажимаете на ссылку ниже: Справка по этой функции . Оказывается, экспонента — это число e (2,718. ), возведенное в указанную степень. То есть экспонента числа -3 — это e в степени -3 . Выделяете ячейку, выбираете EXP , и когда появится окошко с выбором числа, вместо числа указываете ячейку с числом.
    • LN, LOG : возвращает значения натурального и десятичного логарифмов числа. Логарифмы вычисляются для положительных чисел, для числа -3 эти функции выдадут ошибку. Можно вычислить логарифм абсолютного значения (модуля) числа -3 . Для этого выбираете функцию логарифма, и прямо в окошке для числа пишете ABS , ставите открывающую скобку, затем нажимаете на ячейку с числом -3 , затем ставите закрывающую скобку. Нажимаете ОК . В ячейке появится значение логарифма, а в строке формул Excel — формула, например:
      =LN(ABS(B1)) , где B1 — адрес ячейки с числом.
    • LOG : требует уже два значения: само число и основание логарифма. Выберите эту функцию, и в окошки поставьте либо числа напрямую, либо ставите в окошки курсор, и выбираете ячейку с соответствующим числом. Адреса ячеек можно прописывать также и с клавиатуры, только следите, чтобы была английская раскладка клавиатуры.
    • СУММ : можно суммировать отдельные числа, а можно целые диапазоны чисел: во втором случае достаточно при указании числа выделить соответствующий диапазон ячеек.

    Функции в Excel могут быть не только математические. Хотите, например, узнать, сколько дней Вы прожили? Напишите в ячейку дату своего рождения в формате ДД.ММ.ГГГГ , например, 31.03.1971 (это мой день рождения). В другую ячейку вставьте функцию СЕГОДНЯ (она находится в категории Дата и время ). В третью ячейку введите = , затем укажите ячейку с сегодняшней датой, затем поставьте (минус), затем укажите ячейку с датой рождения. Получится что-то вроде:

    =D2-D1 , где D2 и D1 — адреса соответствующих ячеек.

    И все, больше ничего не нужно делать. В ячейке будет количество дней между указанными датами, в данном случае, количество дней, которые Вы прожили.

    Напоследок рассмотрим одну из логических функций ЕСЛИ . Простейший пример: введите в две ячейки какие-нибудь числа. В третьей ячейке выберите функцию ЕСЛИ , в окошке Лог_выражение: выберите одну ячейку с числом, затем напишите = , выберите вторую ячейку. В окошке Значение_если_истина: напишите слово равны , а в окошке Значение_если_ложь: напишите не равны . Нажмите ОК .

    Если значения в ячейках не будут совпадать, функция ЕСЛИ выдаст « не равны », если будут, функция выдаст «равны».

    Более подробные сведения Вы можете получить в разделах «Все курсы» и «Полезности», в которые можно перейти через верхнее меню сайта. В этих разделах статьи сгруппированы по тематикам в блоки, содержащие максимально развернутую (насколько это было возможно) информацию по различным темам.

    Также Вы можете подписаться на блог, и узнавать о всех новых статьях.
    Это не займет много времени. Просто нажмите на ссылку ниже:
    Подписаться на блог: Дорога к Бизнесу за Компьютером

    Вам понравилась статья? Поделитесь, буду весьма признателен:

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector