Tooprogram.ru

Компьютерный справочник
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Функция exp в excel

МНК: Экспоненциальная зависимость в EXCEL

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью экспоненциальной функции.

Метод наименьших квадратов (англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Основная статья про МНК — МНК: Метод Наименьших Квадратов в MS EXCEL .

В этой статье рассмотрена только экспоненциальная зависимость, но ее выводы можно применить и к показательной зависимости, т.к. любую показательную функцию можно свести к экспоненциальной:

y=a*m x =a*(e ln(m) ) x = a*e x*ln(m) =a*e bx , где b= ln(m))

В свою очередь экспоненциальную зависимость y=a*EXP(b*x) при a>0 можно свести к случаю линейной зависимости с помощью замены переменных (см. файл примера ).

После замены переменных Y=ln(y) и A=ln(a) вычисления полностью аналогичны линейному случаю Y=b*x+A. Для нахождения коэффициента a необходимо выполнить обратное преобразование a= EXP(A) .

Примечание : Построить линию тренда по методу наименьших квадратов можно также с помощью инструмента диаграммы Линия тренда ( Экспоненциальная линия тренда ). Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме. Подробнее о диаграммах см. статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL .

Следствием замены Y=ln(y) и A=ln(a) являются дополнительные ограничения: a>0 и y>0. При уменьшении х (в сторону больш и х по модулю отрицательных чисел) соответствующее значение y асимптотически стремится к 0. Именно такую линию тренда и строит инструмент диаграммы Линия тренда. Если среди значений y есть отрицательные, то с помощью инструмента Линия тренда экспоненциальную линию тренда построить не удастся.

Чтобы обойти это ограничение используем другое уравнение экспоненциальной зависимости y=a*EXP(b*x)+с, где по прежнему a>0, т.е. при росте х значения y также будут увеличиваться. В качестве с можно взять некую заранее известную нижнюю границу для y , ниже которой у не может опускаться, т.е. у>с. Далее заменой переменных Y=ln(y-c) и A=ln(a) опять сведем задачу к линейному случаю (см. файл примера лист Экспонента2 ).

Если при росте х значения y уменьшаются по экспоненциальной кривой, т.е. a файл примера лист Экспонента3 ).

Функция РОСТ()

Еще одним способом построить линию экспоненциального тренда является использование функции РОСТ() , английское название GROWTH.

Синтаксис функции следующий:

РОСТ( известные_значения_y; [известные_значения_x]; [новые_значения_x]; [конст] )

Для работы функции нужно просто ввести ссылки на массив значений переменной Y (аргумент известные_значения_y ) и на массив значений переменной Х (аргумент известные_значения_x ). Функция рассчитает прогнозные значения Y для Х, указанных в аргументе новые_значения_x . Если требуется, чтобы экспоненциальная кривая y=a*EXP(b*x) имела a=1, т.е. проходила бы через точку (0;1), то необязательный аргумент конст должен быть установлен равным ЛОЖЬ (или 0).

Если среди значений y есть отрицательные, то с помощью функции РОСТ() аппроксимирующую кривую построить не удастся.

Безусловно, использование функции РОСТ() часто удобно, т.к. не требуется делать замену переменных и сводить задачу к линейному случаю.

Наконец, покажем как с помощью функции РОСТ() вычислить коэффициенты уравнения y= a *EXP( b *x).

Примечание : В MS EXCEL имеется специальная функция ЛГРФПРИБЛ() , которая позволяет вычислить коэффициенты уравнения y=a*EXP(b*x). Об этой функции см. ниже.

Чтобы вычислить коэффициент a (значение Y в точке Х=0) используйте формулу =РОСТ(C26:C45;B26:B45;0) . В диапазонах C26:C45 и B26:B45 должны находиться массивы значений переменной Y и X соответственно.

Чтобы вычислить коэффициент b используйте формулу:

= LN(РОСТ(C26:C45;B26:B45;МИН(B26:B45))/ РОСТ(C26:C45;B26:B45;МАКС(B26:B45)))/ (МИН(B26:B45)-МАКС(B26:B45))

Функция ЛГРФПРИБЛ()

Функция ЛГРФПРИБЛ() на основе имеющихся значений переменных Х и Y подбирает методом наименьших квадратов коэффициенты а и m уравнения y= a * m ^x.

Используя свойство степеней a mn =(a m ) n приведем уравнение экспоненциального тренда y= a *EXP( b *x)= a *e b *x = a *(e b ) x к виду y= a * m ^x, сделав замену переменной m= e b =EXP( b ).

Чтобы вычислить коэффициенты уравнения y= a *EXP( b *x) используйте следующие формулы:

= LN(ЛГРФПРИБЛ(C26:C45;B26:B45)) — коэффициент b

= ИНДЕКС(ЛГРФПРИБЛ(C26:C45;B26:B45);;2) — коэффициент a

Примечание : Функция ЛГРФПРИБЛ() , английское название LOGEST, является формулой массива, возвращающей несколько значений . Поэтому, например, для вывода коэффициентов уравнения необходимо выделить 2 ячейки в одной строке, в Строке формул ввести = ЛГРФПРИБЛ(C26:C45;B26:B45) , затем для ввода формулы вместо обычного ENTER нажать CTRL + SHIFT + ENTER .

Функция ЛГРФПРИБЛ() имеет линейный аналог – функцию ЛИНЕЙН() , которая рассмотрена в статье про простую линейную регрессию. Если 4-й аргумент этой функции ( статистика ) установлен ИСТИНА, то ЛГРФПРИБЛ() возвращает регрессионную статистику: стандартные ошибки для оценок коэффициентов регрессии, коэффициент детерминации, суммы квадратов: SSR , SSE и др.

Читать еще:  Подсчет букв в excel

Примечание : Особой нужды в функции ЛГРФПРИБЛ() нет, т.к. с помощью логарифмирования и замены переменной показательную функцию y= a * m ^x можно свести к линейной ln(y)=ln(a)+x*ln(m)=> Y=A+bx. То же справедливо и для экспоненциальной функции y= a *EXP( b *x).

Примеры работы функции EXP для возведения числа Эйлера в Excel

Функция EXP в Excel используется для возведения числа Эйлера (константа e, которая примерно равна 2,718) в указанную степень и возвращает соответствующее числовое значение.

Примеры использования функции EXP в Excel

Пример 1. Вкладчику банка предложили два варианта вклада:

  1. Вклад с годовой ставкой 16% и ежемесячной капитализацией.
  2. Вклад с непрерывной капитализацией (число периодов капитализации – бесконечное множество за время действия депозитного договора) с годовой ставкой 16%.

Какое предложение является более выгодным? Сумма вклада – 50000 рублей, срок действия договора – 5 лет.

Вид исходной таблицы данных:

Формула для расчета будущей стоимости вклада для первого варианта депозитного договора:

Во втором случае капитализация происходит непрерывно, поэтому можно воспользоваться следующей функцией:

  • C3 – годовая ставка;
  • C5 – срок действия договора;
  • C6 – начальная сумма вклада.

Вариант с непрерывным ростом капитализации является более выгодным.

Расчет скорости деления клеток ткани в Excel

Пример 2. В начальный момент времени была только одна клетка живой материи. Каждые 5 минут такая клетка делится на 2 идентичные клетки. Определить, сколько клеток ткани образуется за 0,5 часа, 1,5 часа, сутки?

Исходная таблица имеет следующий вид:

Для расчета используем формулу массива:

  • A3 – прирост количества клеток (100%, то есть результатом деления одной клетки являются две новые клетки);
  • C3:C5/B3 – указанные по условию периоды, деленные на время жизни клетки до окончания процесса деления.

Значение 1,E+125 эквивалентно 10 25 .

Скорость уменьшения массы радиоактивного вещества с течением времени

Пример 3. Количество радиоактивного вещества уменьшается вдвое за полгода. Сколько будет весить вещество спустя 2 года, если начальная масса составляла 18 кг.

Вид исходной таблицы:

Формула для расчета:

  • B5 – начальная масса вещества;
  • B2 – прирост (отрицательное значение, поскольку количество вещества уменьшается);
  • B4/B3 – количество периодов, за которые происходит полураспад.

Спустя 2 года от 18 кг останется всего примерно 330 г.

Особенности использования функции EXP в Excel

Функция EXP имеет следующую синтаксическую запись:

Единственным и обязательным для заполнения аргументом является число , которое характеризует числовое значение показателя степени, в которую необходимо возвести константу e.

  1. Функции LN и EXP являются противоположными друг другу по возвращаемому результату. Логарифм указывает, в какую степень необходимо возвести основание (в случае натурального логарифма lnx показатель равен примерно 2,718), чтобы получить показатель x. Функция EXP определяет показатель x.
  2. Аргумент число может быть задан любым числом из диапазона действительных чисел (целые и дробные отрицательные, положительные значения и 0). Результат выполнения =EXP(0) равен 1.
  3. В качестве аргумента EXP могут быть переданы логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ, которые будут автоматически преобразованы к числовым значениям 1 и 0 соответственно.
  4. Если в качестве аргумента число были переданы не преобразуемые к числовому значению имя или текстовая строка, функция EXP вернет код ошибки #ЗНАЧ!.
  5. Функцию можно использовать в качестве формулы массива.
  1. Как известно, число e является показателем степени натурального логарифма, который записывается, например, так: ln10, то есть, логарифм с основанием 2,718 из 10. Само число e является показателем роста для любого процесса, зависимые величины которого изменяются непрерывно с изменением независимых. В качестве примеров могут служить такие процессы, как деление живых клеток организма (через определенный период времени одна клетки делится на две, затем каждая из этих двух делится еще на две и так далее) или распад радиоактивных веществ (зная коэффициент распада можно узнать, сколько радиоактивного вещества уже распалось на более простые элементы).
  2. Число e используется для аппроксимации (создания упрощенной модели) систем, величины которых изменяются неравномерно.
  3. Чтобы понять физический смысл числа e, рассмотрим процесс роста капиталовложений в банке. Например, банк предложил 100%-е увеличение капитала по истечению определенного периода, например, 12 месяцев. То есть, прибыль вкладчика удвоится. Предположим, что процесс роста капитала является непрерывным на протяжении года. Тогда для расчета суммы капитала по истечению 6 месяцев можно использовать формулу R=(1+100%/2) 2 , где R – рост капитала, 2 – количество полупериодов роста. Если мы решим определить рост за 4 месяца, формула примет вид R=(1+100%/3) 3 , за 3 месяца — R=(1+100%/4) 4 и т. д. В общем случае имеем формулу R=(1+100%/x) x . Если x→∞ (стремится к бесконечности) R (рост) примет значение 2,718. Из этого следует, что максимально возможный 100%-й рост за мельчайший период времени не может превысить значение 2,718, которое и является числом e (числом Эйлера). В общем случае любой рост может быть выражен формулой R=e p*t , где p – прирост величины (например, не 100%, как в рассмотренном выше примеров, а 30%, то есть 0,3), а t – время (например, если депозитный договор рассчитан на 5 лет, то t=5). Тогда для расчета в Excel достаточно ввести формулу =EXP(0,3*5).
Читать еще:  Создание функции в excel

Математические функции Excel

Здесь рассмотрены наиболее часто используемые математические функции Excel (краткая справка). Дополнительную информацию о функциях можно найти в окне диалога мастера функций, а также в справочной системе Excel. Кроме того, множество математических функций включено в надстройку «Пакет анализа».

Функция СУММ (SUM)

Функция СУММ (SUM) суммирует множество чисел. Эта функция имеет следующий синтаксис:

=СУММ(числа)

Аргумент числа может включать до 30 элементов, каждый из которых может быть числом, формулой, диапазоном или ссылкой на ячейку, содержащую или возвращающую числовое значение. Функция СУММ игнорирует аргументы, которые ссылаются на пустые ячейки, текстовые или логические значения. Аргументы не обязательно должны образовывать непрерывные диапазоны ячеек. Например, чтобы получить сумму чисел в ячейках А2, В10 и в ячейках от С5 до К12, введите каждую ссылку как отдельный аргумент:

=СУММ(А2;В10;С5:К12)

Функции ОКРУГЛ, ОКРУГЛВНИЗ, ОКРУГЛВВЕРХ

Функция ОКРУГЛ (ROUND) округляет число, задаваемое ее аргументом, до указанного количества десятичных разрядов и имеет следующий синтаксис:

=ОКРУГЛ(число;количество_цифр)

Аргумент число может быть числом, ссылкой на ячейку, в которой содержится число, или формулой, возвращающей числовое значение. Аргумент количство_цифр, который может быть любым положительным или отрицательным целым числом, определяет, сколько цифр будет округляться. Задание отрицательного аргумента количество_цифр округляет до указанного количества разрядов слева от десятичной запятой, а задание аргумента количество_цифр равным 0 округляет до ближайшего целого числа. Excel цифры, которые меньше 5, с недостатком (вниз), а цифры, которые больше или равны 5, с избытком (вверх).

Функции ОКРУГЛВНИЗ (ROUNDDOWN) и ОКРУГЛВВЕРХ (ROUNDUP) имеют такой же синтаксис, как и функция ОКРУГЛ. Они округляют значения вниз (с недостатком) или вверх (с избытком).

Функции ЧЁТН и НЕЧЁТ

Для выполнения операций округления можно использовать функции ЧЁТН (EVEN) и НЕЧЁТ (ODD). Функция ЧЁТН округляет число вверх до ближайшего четного целого числа. Функция НЕЧЁТ округляет число вверх до ближайшего нечетного целого числа. Отрицательные числа округляются не вверх, а вниз. Функции имеют следующий синтаксис:

=ЧЁТН(число)
=НЕЧЁТ(число)

Функции ОКРВНИЗ, ОКРВВЕРХ

Функции ОКРВНИЗ (FLOOR) и ОКРВВЕРХ (CEILING) тоже можно использовать для выполнения операций округления. Функция ОКРВНИЗ округляет число вниз до ближайшего кратного для заданного множителя, а функция ОКРВВЕРХ округляет число вверх до ближайшего кратного для заданного множителя. Эти функции имеют следующий синтаксис:

=ОКРВНИЗ(число;множитель)
=ОКРВВЕРХ(число;множитель)

Значения число и множитель должны быть числовыми и иметь один и тот же знак. Если они имеют различные знаки, то будет выдана ошибка.

Функции ЦЕЛОЕ и ОТБР

Функция ЦЕЛОЕ (INT) округляет число вниз до ближайшего целого и имеет следующий синтаксис:

=ЦЕЛОЕ(число)

Аргумент — число — это число, для которого надо найти следующее наименьшее целое число.

Эта формула возвратит значение 10, как и следующая:

Функция ОТБР (TRUNC) отбрасывает все цифры справа от десятичной запятой независимо от знака числа. Необязательный аргумент количество_цифр задает позицию, после которой производится усечение. Функция имеет следующий синтаксис:

=ОТБР(число;количество_цифр)

Если второй аргумент опущен, он принимается равным нулю. Следующая формула возвращает значение 25:

Функции ОКРУГЛ, ЦЕЛОЕ и ОТБР удаляют ненужные десятичные знаки, но работают они различно. Функция ОКРУГЛ округляет вверх или вниз до заданного числа десятичных знаков. Функция ЦЕЛОЕ округляет вниз до ближайшего целого числа, а функция ОТБР отбрасывает десятичные разряды без округления. Основное различие между функциями ЦЕЛОЕ и ОТБР проявляется в обращении с отрицательными значениями. Если вы используете значение -10,900009 в функции ЦЕЛОЕ, результат оказывается равен -11, но при использовании этого же значения в функции ОТБР результат будет равен -10.

Функции СЛЧИС и СЛУЧМЕЖДУ

Функция СЛЧИС (RAND) генерирует случайные числа, равномерно распределенные между 0 и 1, и имеет следующий синтаксис:

Читать еще:  Библиотеки для работы с excel c

=СЛЧИС()

Функция СЛЧИС является одной из функций EXCEL, которые не имеют аргументов. Как и для всех функций, у которых отсутствуют аргументы, после имени функции необходимо вводить круглые скобки.

Значение функции СЛЧИС изменяется при каждом пересчете листа. Если установлено автоматическое обновление вычислений, значение функции СЛЧИС изменяется каждый раз при воде данных в этом листе.

Функция СЛУЧМЕЖДУ (RANDBETWEEN), которая доступна, если установлена надстройка «Пакет анализа», предоставляет больше возможностей, чем СЛЧИС. Для функции СЛУЧМЕЖДУ можно задать интервал генерируемых случайных целочисленных значений.

=СЛУЧМЕЖДУ(начало;конец)

Аргумент начало задает наименьшее число, которое может возвратить любое целое число от 111 до 529 (включая и оба эти значения):

Функция ПРОИЗВЕД

Функция ПРОИЗВЕД (PRODUCT) перемножает все числа, задаваемые ее аргументами, и имеет следующий синтаксис:

=ПРОИЗВЕД(число1;число2. )

Эта функция может иметь до 30 аргументов. Excel игнорирует любые пустые ячейки, текстовые и логические значения.

Функция ОСТАТ

Функция ОСТАТ (MOD) возвращает остаток от деления и имеет следующий синтаксис:

=ОСТАТ(число;делитель)

Значение функции ОСТАТ — это остаток, получаемый при делении аргумента число на делитель. Например, следующая функция возвратит значение 1, то есть остаток, получаемый при делении 19 на 14:

Если число меньше чем делитель, то значение функции равно аргументу число. Например, следующая функция возвратит число 25:

Если число точно делится на делитель, функция возвращает 0. Если делитель равен 0, функция ОСТАТ возвращает ошибочное значение.

Функция КОРЕНЬ

Функция КОРЕНЬ (SQRT) возвращает положительный квадратный корень из числа и имеет следующий синтаксис:

=КОРЕНЬ(число)

Аргумент число должен быть положительным числом. Например, следующая функция возвращает значение 4:

Если число отрицательное, КОРЕНЬ возвращает ошибочное значение.

Функция ЧИСЛОКОМБ

Функция ЧИСЛОКОМБ (COMBIN) определяет количество возможных комбинаций или групп для заданного числа элементов. Эта функция имеет следующий синтаксис:

=ЧИСЛОКОМБ(число;число_выбранных)

Аргумент число — это общее количество элементов, а число_выбранных — это количество элементов в каждой комбинации. Например, для определения количества команд с 5 игроками, которые могут быть образованы из 10 игроков, используется формула:

Результат будет равен 252. Т.е., может быть образовано 252 команды.

Функция ЕЧИСЛО

Функция ЕЧИСЛО (ISNUMBER) определяет, является ли значение числом, и имеет следующий синтаксис:

=ЕЧИСЛО(значение)

Пусть вы хотите узнать, является ли значение в ячейке А1 числом. Следующая формула возвращает значение ИСТИНА, если ячейка А1 содержит число или формулу, возвращающую число; в противном случае она возвращает ЛОЖЬ:

Функция LOG

Функция LOG возвращает логарифм положительного числа по заданному основанию. Синтаксис:

=LOG(число;основание)

Если аргумент основание не указан, то Excel примет его равным 10.

Функция LN

Функция LN возвращает натуральный логарифм положительного числа, указанного в качестве аргумента. Эта функция имеет следующий синтаксис:

=LN(число)

Функция EXP

Функция EXP вычисляет значение константы e, возведенной в заданную степень. Эта функция имеет следующий синтаксис:

EXP(число)

Функция EXP является обратной по отношению к LN. Например, пусть ячейка А2 содержит формулу:

Тогда следующая формула возвращает значение 10:

Функция ПИ

Функция ПИ (PI) возвращает значение константы пи с точностью до 14 десятичных знаков. Синтаксис:

=ПИ()

Функция РАДИАНЫ и ГРАДУСЫ

Тригонометрические функции используют углы, выраженные в радианах, а не в градусах. Измерение углов в радианах основывается на константе пи и при этом 180 градусов равны пи радиан. Excel предоставляет две функции, РАДИАНЫ (RADIANS) и ГРАДУСЫ (DEGREES), чтобы облегчить работу с тригонометрическими функциями.

Вы можете преобразовать радианы в градусы, используя функцию ГРАДУСЫ. Синтаксис:

=ГРАДУСЫ(угол)

Здесь — угол — это число, представляющее собой угол, измеренный в радианах. Для преобразования градусов в радианы используется функция РАДИАНЫ, которая имеет следующий синтаксис:

=РАДИАНЫ(угол)

Здесь — угол — это число, представляющее собой угол, измеренный в градусах. Например, следующая формула возвращает значение 180:

В то же время следующая формула возвращает значение 3,14159:

Функция SIN

Функция SIN возвращает синус угла и имеет следующий синтаксис:

=SIN(число)

Здесь число — угол в радианах.

Функция COS

Функция COS возвращает косинус угла и имеет следующий синтаксис:

=COS(число)

Здесь число — угол в радианах.

Функция TAN

Функция TAN возвращает тангенс угла и имеет следующий синтаксис:

=TAN(число)

Здесь число — угол в радианах.

В начало страницы

В начало страницы

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector